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首先介绍计算机的二进制码

二进制常用的有原码，反码和补码，他们都是由最左边的一个符号位和右边的数值位构成。在计算机中为了更低成本的计算，数据都是用补码来存储和运算的。

原码

最高位表示符号位（0代表正数，1代表负数）。剩下的位数，是这个数的绝对值的二进制。

比如 一个int变量大小为4字节，在32位的编译器中的二进制表示就是00000000 00000000 00000000 00000000

那么10 的原码就是00000000 00000000 00000000 00001010−10的原码就是 10000000 00000000 00000000 00001010

反码

正数的反码和其原码是一样的

负数的反码就是在其原码的基础上 符号位不变 其他位取反。

10的反码就是00000000 00000000 00000000 00001010 和原码一样

−10的反码就是11111111 11111111 11111111 11110101

补码

正数的补码就是其原码

负数的补码就是在其反码的基础上+1

10的补码就是00000000 00000000 00000000 00001010

−10的补码就是 11111111 11111111 11111111 11111011

总结一下

计算机系统中，数值一律用补码来表示：因为补码可以使符号位和数值位统一处理，同时可以使减法按照加法来处理。

二进制编码：数值编码分为原码，反码，补码，符号位均为0正1负。

原码 -> 补码： 数值位取反加1

补码 -> 原码： 对该补码的数值位继续 取反加1

补码 的绝对值（称为真值）：正数的真值就是本身，负数的真值是各位（包括符号位）取反加1（即变成原码并把符号位取反）.

介绍基本的位操作

^：按位异或；&：按位与； | :按位或

b -> -b ： 各位（包括符号位）取反加1

用位操作实现加法运算

我们先不考虑进位，在1位数的加法上，如下

1. 1+1=0 2. 1+0=1 3. 0+1=1 4. 0+0=0 很明显上面几个表达式我们可以用异或进行统一 1. 1^1=0 2. 1^0=1 3. 0^1=1 4. 0^0=0 这样我们就完成了最基础的一位数的加法，但是怎么计算二位以上的加法呢？我们发现现在方法的问题在于不能够获取进位，于是我们通过观察一位数的加法的式子，发现只有两个数位都是1的时候才会有进位，其他都不进位，这不是和&很像吗？ 我们通过把+换成&得到下式 1. 1&1=0 不进位 2. 1&0=1 不进位 3. 0&1=1 不进位 4. 0&0=0 进位 那么我们把所有位进行&操作，然后<<左移一位，不就可以当作加数当前的进位吗？ 到这里我们就完整解决了二进制相加问题中，对应位的相加和进位的问题 1. x^y 加法 2. (x&y)<<1 进位操作 那么总结一下：

定理1：设a，b为两个二进制数，则a+b=a^b+(a&b)<<1。

证明：

a^b是不考虑进位时加法结果。当二进制位同时为1时，才有进位，因此 (a&b)<<1是进位产生的值，称为进位补偿。将两者相加便是完整加法结果。

定理2：使用定理1可以实现只用位运算进行加法运算。

证明：

利用定理1中的等式不停对自身进行迭代。每迭代一次，进位补偿右边就多一位0，因此最多需要加数二进制位长度次迭代，进位补偿就变为0，这时运算结束。

那么我们可以根据上面的定理得到实际的C++代码如下

int add(int a, int b){    int re = a;    while(b){        int tmp = a;        a = a^b;        b = (tmp&b)<<1;        re = a;    }    return re;}

用位操作实现减法

减法和加法原理相同，减去一个数相当于加上这个数的相反数，所以完全可以利用加法操作，唯一需要做的就是求出被减数的相反数。

求相反数的方法：每一位取反，末位加一。 代码如下：

int subtraction(int a, int b){    b = add(~b,1); // 求b的相反数    return add(a, b);}

用位操作实现乘法

二进制的乘法同十进制的乘法并无什么不一样，对于a∗b每次只需要将a左移对应的位，然后同上一次的结果相加即可

当b的对应位为1的时候，对a左移一位相加即可 当b的对应位位0的时候，对a左移一位，但是不相加 注意到我们上面的操作都是不包括符号位的，因此我们单独考虑符号位。 代码如下

int getSign(int n){    unsigned count = 0;    //计算n的位数    do{        ++count;    }while(n >> count)    //得到n的最左边的位    return n >> (count-1);}int mul(int a, int b){    bool isNegative = false;    if(getSign(a) ^ getSigned(b))        isNegative = true;    if(a < 0) a = add(~a,1);//求出a的绝对值    if(b < 0) b = add(~b,1);//求出b的绝对值    int res = 0;    while(b){               //当b不为0，继续循环        if(b & 1)           //当b当前位为1 才需要加a            res = add(res,a);        a = a << 1;        b = b >> 1;    }    if(isNegative)        add(~res,1);    return res;}

二进制除法

同乘法一样，除法一样可以用减法来代替，当a≥b才可以上商，在每次上一个商（也就是商值加1）之后，a=a−b

代码如下

int divide(int a, int b){    if(!b)        throw std::runtime_error("Divided can't be zero...");    bool isNegative = false;    bool isNegtive = false;    if(getSign(a) ^ getSign(b))        isNegtive = true;    if(a < 0) a = add(~a,1);//求出a的绝对值    if(b < 0) b = add(~b,1);//求出b的绝对值    int res = 0;    while(a >= b){        res = add(res,1);        a = subtraction(a,b);    }    if(isNegative)        add(~res,1);    return res;}

--------------------- 作者：harry_128 来源：CSDN 原文：https://blog.csdn.net/harry_128/article/details/80150502 版权声明：本文为作者原创文章，转载请附上博文链接！ 内容解析By：